Logistic回归与多重线性回归实际上有很多相同之处，最大的区别就在于它们的因变量不同，其他的基本都差不多。正是因为如此，这两种回归可以归于同一个家族，即广义线性模型（generalizedlinear model）。

这一家族中的模型形式基本上都差不多，不同的就是因变量不同。

• 如果是连续的，就是多重线性回归；
• 如果是二项分布，就是Logistic回归；
• 如果是Poisson分布，就是Poisson回归；
• 如果是负二项分布，就是负二项回归。

Logistic回归的因变量可以是二分类的，也可以是多分类的，但是二分类的更为常用，也更加容易解释。所以实际中最常用的就是二分类的Logistic回归。

Logistic回归的主要用途：

• 寻找危险因素：寻找某一疾病的危险因素等；
• 预测：根据模型，预测在不同的自变量情况下，发生某病或某种情况的概率有多大；
• 判别：实际上跟预测有些类似，也是根据模型，判断某人属于某病或属于某种情况的概率有多大，也就是看一下这个人有多大的可能性是属于某病。

Logistic回归主要在流行病学中应用较多，比较常用的情形是探索某疾病的危险因素，根据危险因素预测某疾病发生的概率，等等。例如，想探讨胃癌发生的危险因素，可以选择两组人群，一组是胃癌组，一组是非胃癌组，两组人群肯定有不同的体征和生活方式等。这里的因变量就是是否胃癌，即“是”或“否”，自变量就可以包括很多了，例如年龄、性别、饮食习惯、幽门螺杆菌感染等。自变量既可以是连续的，也可以是分类的。

常规步骤

Regression问题的常规步骤为：

1. 寻找h函数（即hypothesis）；
2. 构造J函数（损失函数）；
3. 想办法使得J函数最小并求得回归参数（θ）

构造预测函数h

Logistic回归虽然名字里带“回归”，但是它实际上是一种分类方法，主要用于两分类问题（即输出只有两种，分别代表两个类别），所以利用了Logistic函数（或称为Sigmoid函数），函数形式为：

Sigmoid 函数在有个很漂亮的“S”形，如下图所示（引自维基百科）：

下面左图是一个线性的决策边界，右图是非线性的决策边界。

对于线性边界的情况，边界形式如下：

构造预测函数为：

函数

的值有特殊的含义，它表示结果取1的概率，因此对于输入x分类结果为类别1和类别0的概率分别为：

构造损失函数J

Cost函数和J函数如下，它们是基于最大似然估计推导得到的。

下面详细说明推导的过程：

（1）式综合起来可以写成：

取似然函数为：

对数似然函数为：

取为下式，即：

梯度下降法求的最小值

θ更新过程：

θ更新过程可以写成：

向量化Vectorization

Vectorization是使用矩阵计算来代替for循环，以简化计算过程，提高效率。

如上式，Σ(…)是一个求和的过程，显然需要一个for语句循环m次，所以根本没有完全的实现vectorization。

下面介绍向量化的过程：

约定训练数据的矩阵形式如下，x的每一行为一条训练样本，而每一列为不同的特称取值：

θ更新过程可以改为：

综上所述，Vectorization后θ更新的步骤如下：

正则化Regularization

过拟合问题

对于线性回归或逻辑回归的损失函数构成的模型，可能会有些权重很大，有些权重很小，导致过拟合（就是过分拟合了训练数据），使得模型的复杂度提高，泛化能力较差（对未知数据的预测能力）。

下面左图即为欠拟合，中图为合适的拟合，右图为过拟合。

问题的主因

过拟合问题往往源自过多的特征。

解决方法

1）减少特征数量（减少特征会失去一些信息，即使特征选的很好）

• 可用人工选择要保留的特征；
• 模型选择算法；

2）正则化（特征较多时比较有效）

• 保留所有特征，但减少θ的大小

正则化方法

正则化是结构风险最小化策略的实现，是在经验风险上加一个正则化项或惩罚项。正则化项一般是模型复杂度的单调递增函数，模型越复杂，正则化项就越大。

从房价预测问题开始，这次采用的是多项式回归。左图是适当拟合，右图是过拟合。

lambda是正则项系数：

• 如果它的值很大，说明对模型的复杂度惩罚大，对拟合数据的损失惩罚小，这样它就不会过分拟合数据，在训练数据上的偏差较大，在未知数据上的方差较小，但是可能出现欠拟合的现象；
• 如果它的值很小，说明比较注重对训练数据的拟合，在训练数据上的偏差会小，但是可能会导致过拟合。

正则化后的梯度下降算法θ的更新变为：

正则化后的线性回归的Normal Equation的公式为：

其他优化算法

• Conjugate gradient method(共轭梯度法)
• Quasi-Newton method(拟牛顿法)
• BFGS method
• L-BFGS(Limited-memory BFGS)

后二者由拟牛顿法引申出来，与梯度下降算法相比，这些算法的优点是：

• 第一，不需要手动的选择步长；
• 第二，通常比梯度下降算法快；

但是缺点是更复杂。

多类分类问题

对于多类分类问题，可以将其看做成二类分类问题：保留其中的一类，剩下的作为另一类。