一、范畴论

函数式编程的起源，是一门叫做范畴论（Category Theory）的数学分支。

理解函数式编程的关键，就是理解范畴论。它是一门很复杂的数学，认为世界上所有的概念体系，都可以抽象成一个个的’范畴’（category）。

1.1 范畴的概念

什么是范畴呢？

维基百科的一句话定义如下。

‘范畴就是使用箭头连接的物体。’（In mathematics, a category is an algebraic structure that comprises ‘objects’ that are linked by ‘arrows’. ）

也就是说，彼此之间存在某种关系的概念、事物、对象等等，都构成’范畴’。随便什么东西，只要能找出它们之间的关系，就能定义一个’范畴’。

上图中，各个点与它们之间的箭头，就构成一个范畴。

箭头表示范畴成员之间的关系，正式的名称叫做’态射’（morphism）。范畴论认为，同一个范畴的所有成员，就是不同状态的’变形’（transformation）。通过’态射’，一个成员可以变形成另一个成员。

1.2 数学模型

既然’范畴’是满足某种变形关系的所有对象，就可以总结出它的数学模型。

• 所有成员是一个集合
• 变形关系是函数

也就是说，范畴论是集合论更上层的抽象，简单的理解就是’集合 + 函数’。

理论上通过函数，就可以从范畴的一个成员，算出其他所有成员。

1.3 范畴与容器

我们可以把’范畴’想象成是一个容器，里面包含两样东西。

• 值（value）
• 值的变形关系，也就是函数。

下面我们使用代码，定义一个简单的范畴。

class Category { constructor(val) { this.val = val; } addOne(x) { return x + 1; }}

上面代码中，Category是一个类，也是一个容器，里面包含一个值（this.val）和一种变形关系（addOne）。你可能已经看出来了，这里的范畴，就是所有彼此之间相差1的数字。

注意，本文后面的部分，凡是提到’容器’的地方，全部都是指’范畴’。

1.4 范畴论与函数式编程的关系

范畴论使用函数，表达范畴之间的关系。

伴随着范畴论的发展，就发展出一整套函数的运算方法。这套方法起初只用于数学运算，后来有人将它在计算机上实现了，就变成了今天的’函数式编程’。

本质上，函数式编程只是范畴论的运算方法，跟数理逻辑、微积分、行列式是同一类东西，都是数学方法，只是碰巧它能用来写程序。

所以，你明白了吗，为什么函数式编程要求函数必须是纯的，不能有副作用？因为它是一种数学运算，原始目的就是求值，不做其他事情，否则就无法满足函数运算法则了。

总之，在函数式编程中，函数就是一个管道（pipe）。这头进去一个值，那头就会出来一个新的值，没有其他作用。

二、函数的合成与柯里化

函数式编程有两个最基本的运算：合成和柯里化。

2.1 函数的合成

如果一个值要经过多个函数，才能变成另外一个值，就可以把所有中间步骤合并成一个函数，这叫做’函数的合成’（compose）。

上图中，X和Y之间的变形关系是函数f，Y和Z之间的变形关系是函数g，那么X和Z之间的关系，就是g和f的合成函数g·f。

下面就是代码实现了，我使用的是 JavaScript 语言。注意，本文所有示例代码都是简化过的，完整的 Demo 请看《参考链接》部分。

合成两个函数的简单代码如下。

const compose = function (f, g) { return function (x) { return f(g(x)); };}

函数的合成还必须满足结合律。

compose(f, compose(g, h))// 等同于compose(compose(f, g), h)// 等同于compose(f, g, h)

合成也是函数必须是纯的一个原因。因为一个不纯的函数，怎么跟其他函数合成？怎么保证各种合成以后，它会达到预期的行为？

前面说过，函数就像数据的管道（pipe）。那么，函数合成就是将这些管道连了起来，让数据一口气从多个管道中穿过。

2.2 柯里化

f(x)和g(x)合成为f(g(x))，有一个隐藏的前提，就是f和g都只能接受一个参数。如果可以接受多个参数，比如f(x, y)和g(a, b, c)，函数合成就非常麻烦。

这时就需要函数柯里化了。所谓’柯里化’，就是把一个多参数的函数，转化为单参数函数。

// 柯里化之前function add(x, y) { return x + y;}add(1, 2) // 3// 柯里化之后function addX(y) { return function (x) { return x + y; };}addX(2)(1) // 3

有了柯里化以后，我们就能做到，所有函数只接受一个参数。后文的内容除非另有说明，都默认函数只有一个参数，就是所要处理的那个值。

三、函子

函数不仅可以用于同一个范畴之中值的转换，还可以用于将一个范畴转成另一个范畴。这就涉及到了函子（Functor）。

3.1 函子的概念

函子是函数式编程里面最重要的数据类型，也是基本的运算单位和功能单位。

它首先是一种范畴，也就是说，是一个容器，包含了值和变形关系。比较特殊的是，它的变形关系可以依次作用于每一个值，将当前容器变形成另一个容器。

上图中，左侧的圆圈就是一个函子，表示人名的范畴。外部传入函数f，会转成右边表示早餐的范畴。

下面是一张更一般的图。

上图中，函数f完成值的转换（a到b），将它传入函子，就可以实现范畴的转换（Fa到Fb）。

3.2 函子的代码实现

任何具有map方法的数据结构，都可以当作函子的实现。

class Functor { constructor(val) { this.val = val; } map(f) { return new Functor(f(this.val)); }}

上面代码中，Functor是一个函子，它的map方法接受函数f作为参数，然后返回一个新的函子，里面包含的值是被f处理过的（f(this.val)）。

一般约定，函子的标志就是容器具有map方法。该方法将容器里面的每一个值，映射到另一个容器。

下面是一些用法的示例。

(new Functor(2)).map(function (two) { return two + 2;});// Functor(4)(new Functor('flamethrowers')).map(function(s) { return s.toUpperCase();});// Functor('FLAMETHROWERS')(new Functor('bombs')).map(_.concat(' away')).map(_.prop('length'));// Functor(10)

上面的例子说明，函数式编程里面的运算，都是通过函子完成，即运算不直接针对值，而是针对这个值的容器—-函子。函子本身具有对外接口（map方法），各种函数就是运算符，通过接口接入容器，引发容器里面的值的变形。

因此，学习函数式编程，实际上就是学习函子的各种运算。由于可以把运算方法封装在函子里面，所以又衍生出各种不同类型的函子，有多少种运算，就有多少种函子。函数式编程就变成了运用不同的函子，解决实际问题。

四、of 方法

你可能注意到了，上面生成新的函子的时候，用了new命令。这实在太不像函数式编程了，因为new命令是面向对象编程的标志。

函数式编程一般约定，函子有一个of方法，用来生成新的容器。

下面就用of方法替换掉new。

Functor.of = function(val) { return new Functor(val);};

然后，前面的例子就可以改成下面这样。

Functor.of(2).map(function (two) { return two + 2;});// Functor(4)

这就更像函数式编程了。

五、Maybe 函子

函子接受各种函数，处理容器内部的值。这里就有一个问题，容器内部的值可能是一个空值（比如null），而外部函数未必有处理空值的机制，如果传入空值，很可能就会出错。

Functor.of(null).map(function (s) { return s.toUpperCase();});// TypeError

上面代码中，函子里面的值是null，结果小写变成大写的时候就出错了。

Maybe 函子就是为了解决这一类问题而设计的。简单说，它的map方法里面设置了空值检查。

class Maybe extends Functor { map(f) { return this.val ? Maybe.of(f(this.val)) : Maybe.of(null); }}

有了 Maybe 函子，处理空值就不会出错了。

Maybe.of(null).map(function (s) { return s.toUpperCase();});// Maybe(null)

六、Either 函子

条件运算if...else是最常见的运算之一，函数式编程里面，使用 Either 函子表达。

Either 函子内部有两个值：左值（Left）和右值（Right）。右值是正常情况下使用的值，左值是右值不存在时使用的默认值。

class Either extends Functor { constructor(left, right) { this.left = left; this.right = right; } map(f) { return this.right ? Either.of(this.left, f(this.right)) : Either.of(f(this.left), this.right); }}Either.of = function (left, right) { return new Either(left, right);};

下面是用法。

var addOne = function (x) { return x + 1;};Either.of(5, 6).map(addOne);// Either(5, 7);Either.of(1, null).map(addOne);// Either(2, null);

上面代码中，如果右值有值，就使用右值，否则使用左值。通过这种方式，Either 函子表达了条件运算。

Either 函子的常见用途是提供默认值。下面是一个例子。

Either.of({address: 'xxx'}, currentUser.address).map(updateField);

上面代码中，如果用户没有提供地址，Either 函子就会使用左值的默认地址。

Either 函子的另一个用途是代替try...catch，使用左值表示错误。

function parseJSON(json) { try { return Either.of(null, JSON.parse(json)); } catch (e: Error) { return Either.of(e, null); }}

上面代码中，左值为空，就表示没有出错，否则左值会包含一个错误对象e。一般来说，所有可能出错的运算，都可以返回一个 Either 函子。

七、ap 函子

函子里面包含的值，完全可能是函数。我们可以想象这样一种情况，一个函子的值是数值，另一个函子的值是函数。

function addTwo(x) { return x + 2;}const A = Functor.of(2);const B = Functor.of(addTwo)

上面代码中，函子A内部的值是2，函子B内部的值是函数addTwo。

有时，我们想让函子B内部的函数，可以使用函子A内部的值进行运算。这时就需要用到 ap 函子。

ap 是 applicative（应用）的缩写。凡是部署了ap方法的函子，就是 ap 函子。

class Ap extends Functor { ap(F) { return Ap.of(this.val(F.val)); }}

注意，ap方法的参数不是函数，而是另一个函子。

因此，前面例子可以写成下面的形式。

Ap.of(addTwo).ap(Function.of(2))// Ap(4)

ap 函子的意义在于，对于那些多参数的函数，就可以从多个容器之中取值，实现函子的链式操作。

function add(x) { return function (y) { return x + y; };}Ap.of(add).ap(Maybe.of(2)).ap(Maybe.of(3));// Ap(5)

上面代码中，函数add是柯里化以后的形式，一共需要两个参数。通过 ap 函子，我们就可以实现从两个容器之中取值。它还有另外一种写法。

Ap.of(add(2)).ap(Maybe.of(3));

八、Monad 函子

函子是一个容器，可以包含任何值。函子之中再包含一个函子，也是完全合法的。但是，这样就会出现多层嵌套的函子。

Maybe.of( Maybe.of( Maybe.of({name: 'Mulburry', number: 8402}) ))

上面这个函子，一共有三个Maybe嵌套。如果要取出内部的值，就要连续取三次this.val。这当然很不方便，因此就出现了 Monad 函子。

Monad 函子的作用是，总是返回一个单层的函子。它有一个flatMap方法，与map方法作用相同，唯一的区别是如果生成了一个嵌套函子，它会取出后者内部的值，保证返回的永远是一个单层的容器，不会出现嵌套的情况。

class Monad extends Functor { join() { return this.val; } flatMap(f) { return this.map(f).join(); }}

上面代码中，如果函数f返回的是一个函子，那么this.map(f)就会生成一个嵌套的函子。所以，join方法保证了flatMap方法总是返回一个单层的函子。这意味着嵌套的函子会被铺平（flatten）。

九、IO 操作

Monad 函子的重要应用，就是实现 I/O （输入输出）操作。

I/O 是不纯的操作，普通的函数式编程没法做，这时就需要把 IO 操作写成Monad函子，通过它来完成。

var fs = require('fs');var readFile = function(filename) { return new IO(function() { return fs.readFileSync(filename, 'utf-8'); });};var print = function(x) { return new IO(function() { console.log(x); return x; });}

上面代码中，读取文件和打印本身都是不纯的操作，但是readFile和print却是纯函数，因为它们总是返回 IO 函子。

如果 IO 函子是一个Monad，具有flatMap方法，那么我们就可以像下面这样调用这两个函数。

readFile('./user.txt').flatMap(print)

这就是神奇的地方，上面的代码完成了不纯的操作，但是因为flatMap返回的还是一个 IO 函子，所以这个表达式是纯的。我们通过一个纯的表达式，完成带有副作用的操作，这就是 Monad 的作用。

由于返回还是 IO 函子，所以可以实现链式操作。因此，在大多数库里面，flatMap方法被改名成chain。

var tail = function(x) { return new IO(function() { return x; });}readFile('./user.txt').flatMap(tail).flatMap(print)// 等同于readFile('./user.txt').chain(tail).chain(print)

上面代码读取了文件user.txt，然后选取最后一行输出。

十、参考链接

• JS 函数式编程指南
• Taking Things Out of Context: Functors in JavaScript
• Functor.js
• Maybe, Either Try Functors in ES6
• Why Category Theory Matters

（正文完）

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