最小平方法是十九世纪统计学的主题曲。

从许多方面来看, 它之于统计学就相当于十八世纪的微积分之于数学。

—-乔治·斯蒂格勒《The History of Statistics》

1 日用而不知

来看一个生活中的例子。比如说，有五把尺子：

用它们来分别测量一线段的长度，得到的数值分别为（颜色指不同的尺子）：

之所以出现不同的值可能因为：

• 不同厂家的尺子的生产精度不同

• 尺子材质不同，热胀冷缩不一样

• 测量的时候心情起伏不定

• ……

总之就是有误差，这种情况下，一般取平均值来作为线段的长度：

日常中就是这么使用的。可是作为很事’er的数学爱好者，自然要想下：

• 这样做有道理吗？

• 用调和平均数行不行？

• 用中位数行不行？

• 用几何平均数行不行？

2 最小二乘法

换一种思路来思考刚才的问题。

首先，把测试得到的值画在笛卡尔坐标系中，分别记作

：

其次，把要猜测的线段长度的真实值用平行于横轴的直线来表示（因为是猜测的，所以用虚线来画），记作

：

每个点都向

做垂线，垂线的长度就是 ，也可以理解为测量值和真实值之间的误差：

因为误差是长度，还要取绝对值，计算起来麻烦，就干脆用平方来代表误差：

误差的平方和就是（

代表误差）：

因为

是猜测的，所以可以不断变换：

自然，误差的平方和

在不断变化的。

法国数学家，阿德里安-马里·勒让德（1752－1833，这个头像有点抽象）提出让总的误差的平方最小的

就是真值，这是基于，如果误差是随机的，应该围绕真值上下波动（关于这点可以看下这篇文章）。

勒让德的想法变成代数式就是：

这个猜想也蛮符合直觉的，来算一下。

这是一个二次函数，对其求导，导数为0的时候取得最小值：

进而：

正好是算术平均数。

原来算术平均数可以让误差最小啊，这下看来选用它显得讲道理了。

以下这种方法：

就是最小二乘法，所谓“二乘”就是平方的意思，台湾直接翻译为最小平方法。

3 推广

算术平均数只是最小二乘法的特例，适用范围比较狭窄。而最小二乘法用途就广泛。

比如温度与冰淇淋的销量：

看上去像是某种线性关系：

可以假设这种线性关系为：

通过最小二乘法的思想：

上图的

分别为：

总误差的平方为：

不同的

会导致不同的 ，根据多元微积分的知识，当：

这个时候

取最小值。

对于

而言，上述方程组为线性方程组，用之前的数据解出来：

也就是这根直线：

其实，还可以假设：

在这个假设下，可以根据最小二乘法，算出

，得到下面这根红色的二次曲线：

同一组数据，选择不同的

，通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线（出处）：

不同的数据，更可以选择不同的

，通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线：

也不能选择任意的函数，还是有一些讲究的，这里就不介绍了。

4 最小二乘法与正态分布

我们对勒让德的猜测，即最小二乘法，仍然抱有怀疑，万一这个猜测是错误的怎么办？

数学王子高斯（1777－1855）也像我们一样心存怀疑。

高斯换了一个思考框架，通过概率统计那一套来思考。

让我们回到最初测量线段长度的问题。高斯想，通过测量得到了这些值：

每次的测量值

都和线段长度的真值 之间存在一个误差：

这些误差最终会形成一个概率分布，只是现在不知道误差的概率分布是什么。假设概率密度函数为：

再假设一个联合概率，这样方便把所有的测量数据利用起来：

把

作为变量的时候，上面就是似然函数了（关于似然函数以及马上要讲到的最大似然估计，可以参考这篇文章）。

的图像可能是这样的（随便画的）：

根据最大似然估计的思想，联合概率最大的最应该出现（既然都出现了，而我又不是“天选之子”，那么自然不会是发生了小概率事件），也就是应该取到下面这点：

当下面这个式子成立时，取得最大值：

然后高斯想，最小二乘法给出的答案是：

如果最小二乘法是对的，那么

时应该取得最大值，即：

好，现在可以来解这个微分方程了。最终得到：

这是什么？这就是正态分布啊。

并且这还是一个充要条件：

也就是说，如果误差的分布是正态分布，那么最小二乘法得到的就是最有可能的值。

那么误差的分布是正态分布吗？

如果误差是由于随机的、无数的、独立的、多个因素造成的，比如之前提到的：

• 不同厂家的尺子的生产精度不同

• 尺子材质不同，热胀冷缩不一样

• 测量的时候心情起伏不定

• ……

那么根据中心极限定理（参考这篇文章），误差的分布就应该是正态分布。

虽然勒让德提出了最小二乘法（高斯说他最早提出最小二乘法，只是没有发表），但是高斯的努力，才真正奠定了最小二乘法的重要地位。