正态分布这个概念在统计学中很常见，在做与正态分布有关计算的时候经常会用到标准正态分布表。如果知道一个数值的标准分数即z-score，就可以非常便捷地在标准正态分布表中查到该标准分数对应的概率值。任何数值，只要符合正态分布的规律，均可使用标准正态分布表查询其发生的概率。

下表就是标准正态分布表，在使用的时候，第一步是先计算数值的标准分数，然后将标准分数四舍五入到小数点后第二位；第二步是在标准正态分布表中的左侧查到直到标准分数的小数点后第一位，然后用顶部的数值查到所对应的标准分数的小数点后第二位。

比如标准分数为1.16，在表左侧可以查到1.1所在的行，然后再找到0.06所在的列，最后对应的概率值为0.877。这就意味着在正态分布的情况下，如果一个数值的标准分数为1.16，那么该数值所代表的情况出现的概率为87.7%。

以下通过案例来看标准正态分布表的应用。假设某地成年男性的身高数据呈正态分布，平均身高为1.70米，标准差为4厘米。

问题：

1. 男性身高超过1.75米的占比为多少？

2. 男性身高在1.74-1.75米之间的占比为多少？

3. 如果有20%的男性身高高于某个数值，该数值所对应的身高数据是多少？

4. 如果有20%的男性身高低于某个数值，该数值所对应的身高数据是多少？

解题：

1、先用标准分数即z-score计算公式将1.75米的身高数据转换成标准分数，结果为(1.75– 1.70) / 0.04 =1.25，这样问题就成了：在标准正态分布曲线中标准分数大于1.25的概率是多少？查询标准正态分布表，可以看到1.25的标准分数对应的概率值为0.894= 89.4%，也就是有89.4%的男性身高数据的标准分数不超过1.25，因此有100%-89.4%=10.6%的男性身高超过1.75米。

2、在问题1中已知身高为1.75米的标准分数为1.25，那么身高为1.74米的标准分数= (1.74 –1.70) / 4 = 1.00，因此只需找到1.00标准分数1.25所对应的概率即可，1.00的标准分数所对应的概率值为0.841，也就是有84.1%的男性身高数据的标准分数不超过1.00，因此身高在1.74-1.75米之间的男性占比为0.894-0.841=0.853=5.3%

3、如果说有20%的男性身高高于某个数值，那就意味着80%的男性身高不超过该数值，因此在标准正态分布表看到概率值为0.800所对应的标准分数为0.84，现在将这个标准分数转换成身高数据，带入z-score的计算公式为0.84=(x-1.70)/0.04，结果为1.7336米，即在全部成年男性中有20%的男性身高高于1.7336米。

4、这个问题的计算思路与前面的问题基本相同，区别只是在于标准分数需要使用负值，因此带入z-score的计算公式后为-0.84=(x-1.70)/0.04，结果为1.6664米，即在全部成年男性中有20%的男性身高低于1.6664米。

在各类金融市场中，外汇市场的回报率总体上符合正态分布的规律，因此第二个案例是如何借助标准正态分布表估算外汇汇率。

圣路易斯联邦储备银行主页上下载2018-7-2至2019-6-28这一年间的欧元/美元汇率，经计算，汇率均值为1.1409，标准差为0.0166

标准分数分布如下图所示：

问题：

1. 欧元/美元的汇率在1.17以上的交易日占比为多少？

2. 欧元/美元的汇率在1.1650-1.17之间的交易日占比为多少？

3. 如果在5%的交易日中欧元/美元的汇率高于某个水平，该汇率是多少？

4. 如果在10%的交易日中欧元/美元的汇率低于某个水平，该汇率是多少？

解题：

1、先用标准分数即z-score计算公式将1.1700的汇率数据转换成标准分数，结果为(1.17-1.1409) / 0.0166 = 1.7560，这样问题就变成：在欧元/美元汇率的标准正态分布曲线中标准分数大于1.7560的概率是多少？查询标准正态分布表，可以看到1.7560约等于1.176，所对应的概率值为0.961=96.1%，也就是在过去一年中96.1%的交易天数里欧元/美元的汇率在1.1700以上。

2、欧元/美元汇率1.1700的标准分数已知，1.1650汇率的标准分数= (1.1650-1.1409) / 0.0166 = 1.4547，因此只需找到1.45标准分数1.76所对应的概率即可，查询标准正态分布表1.45的标准分数所对应的概率值为0.927，因此欧元/美元的汇率在1.1650-1.17之间的交易日占比为0.961-0.927=0.034=3.4%

3、解题思路与前面身高的案例相同，欧元/美元的汇率在5%的交易日中高于某个水平，反过来讲也就是说在95%的情况下欧元/美元的汇率没有高于某个水平。在标准正态分布表中0.95的概率值对应的标准分数为1.64，将这个标准分数转换成汇率，带入z-score计算公式为1.64= (x-1.1409)/0.0166，结果为1.1681。也就是说，在2018-7-2至2019-6-28的一年间，当欧元/美元的汇率处于1.1681的时候，在全部交易日中欧元/美元的汇率有5%的概率将高于1.1681。

4、同理，在标准正态分布表查到0.90的概率值所对应的标准分数1.28，带入z-score计算公式后为-1.28=(x-1.1409)/0.0166，结果为1.1196。也就是说，在2018-7-2至2019-6-28的一年间，当欧元/美元的汇率处于1.1196的时候，在全部交易日中有10%的交易日的欧元/美元汇率低于1.1196。